Soal dan Pembahasan – Keliling dan Luas Bangun Datar (Tingkat Lanjut)

Luas persegi sama dengan dua kali dari luas daerah warna kuning. Karena ada $6$ buah persegi, maka luas bangun keseluruhan sama dengan $6 \times 2 = 12$ kali dari luas daerah warna kuning, yaitu $\boxed{L = 12 \times 5 = 60~\text{cm}^2}.$
(Jawaban C)

Perhatikan sketsa bentuk kebun berikut.

Misalkan persegi panjang yang dimaksud memiliki ukuran panjang $x$ dan lebar $y$. Karena dikatakan kebun hanya memiliki $2$ ukuran sisi, maka panjang sisi yang diberi tanda ? adalah $x$. Dengan kata lain, $y = 2x.$
Diketahui keliling $k = 160~\text{m}.$ Kita peroleh
$$\begin{aligned} 4x + 3y & = 160 \\ 4x + 3(2x) & = 160 \\ 10x & = 160 \\ x & = 16~\text{m}. \end{aligned}$$Ini berarti, $y = 32~\text{m}.$ Luas kebun dinyatakan oleh $\boxed{L = 2xy = 2 \times 16 \times 32 = 1.024~\text{m}^2}.$
(Jawaban D)

Perhatikan gambar berikut.
Keliling bangun tersebut sama dengan jumlah panjang sisi yang diberi warna merah dan biru dari gambar di atas. Karena luas tiap persegi adalah $25~\text{cm}^2$, maka panjang sisinya adalah $s = \sqrt{25} = 5~\text{cm}.$ Dua ruas garis biru bila digabungkan akan memiliki panjang sisi $5$ cm. Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} k & = (16 \times 5) + (2 \times 5) \\ & = 80 + 10 \\ & = 90~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, keliling bangun di atas adalah $\boxed{90~\text{cm}}.$
(Jawaban C)

Diketahui:
$$\begin{aligned} L_A & = 25~\text{cm}^2 \\ L_B & = 16~\text{cm}^2 \\ L_C & = 9~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Panjang sisi persegi $A, B$, dan $C$ berturut-turut adalah
$$\begin{aligned} s_A & = \sqrt{25} = 5~\text{cm} \\ s_B & = \sqrt{16} = 4~\text{cm}  \\ s_C & = \sqrt{9} = 3~\text{cm}  \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan gambar berikut.
Jumlah panjang dari lima ruas garis merah di atas sama dengan panjang sisi persegi terbesar, yaitu $5$ cm. Keliling gabungan dari bangun tersebut adalah
$$\begin{aligned} k & = (3 \times 5) + (2 \times 4) + (2 \times 3) + 5 \\ & = 15 + 8 + 6 + 5 \\ & = 34~ \text{cm}. \end{aligned}$$(Jawaban C)

Karena panjang sisi persegi $10~\text{cm}$, maka luasnya adalah $10 \times 10 =  100~\text{cm}^2.$ Jika keempat segitiga tersebut disusun berdekatan, bentuknya akan menutupi $\dfrac14$ bagian dari persegi sehingga jumlah luasnya adalah $\dfrac14 \times 100 =  25~\text{cm}^2.$
(Jawaban B)

Bila dibelah menurut diagonalnya, satu persegi terdiri dari 2 bagian yang sama luasnya. Daerah yang diarsir terdiri dari 5 bagian, sedangkan secara keseluruhan, persegi panjang $PQRS$ yang disusun dari $6$ persegi terdiri dari $6 \times 2 = 12$ bagian.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa perbandingan luas daerah yang diarsir terhadap luas persegi panjang $PQRS$ adalah $\boxed{5 : 12}.$
(Jawaban C)

Perhatikan gambar berikut.
Luas segitiga siku-siku (daerah warna kuning) adalah $L_{\triangle} = \dfrac{4 \times 4}{2} = 8~\text{cm}^2.$
Luas persegi yang lain sama dengan $4$ kali dari luas segitiga siku-siku tersebut, yaitu $L = 4 \times L_{\triangle} = 4 \times 8 =32~\text{cm}^2.$
(Jawaban C)

Karena luas persegi panjang $ABCD$ adalah $60~\text{cm}^2$  dan $BC = 6~\text{cm}$, maka $AB = CD = \dfrac{60}{6} = 10~\text{cm}$. Dengan demikian, panjang $RQ = 10-2-2 = 6~\text{cm}.$
Perhatikan gambar berikut.
Luas daerah berwarna kuning sama dengan luas persegi panjang $ABCD$ dikurangi luas segitiga $PQR$.
$$\begin{aligned} L & = L_{ABCD}-L_{\triangle PQR} \\ & = 60-\dfrac{6 \times 6}{2} \\ & = 60-18 = 42~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah warna kuning adalah $\boxed{42~\text{cm}^2}.$
(Jawaban C)

Anggap luas persegi panjang sama dengan $1+6 = 7$. Tarik garis diagonal persegi panjang seperti gambar di bawah. 
Perhatikan bahwa segitiga yang  luasnya $1$ dan $2,\!5$ di atas memiliki tinggi yang sama sehingga panjang alasnya memiliki perbandingan yang sama dengan besar luasnya, yaitu $a : b = 1 : 2,\!5 = 2 : 5.$
(Jawaban A)

Tarik garis yang membelah bagian persegi dengan ukuran yang sama.
Pada daerah di atas diagonal, terdapat 9 segitiga siku-siku dan 4 di antaranya menempati daerah dengan luas $m$. Jadi, $m = 4 : 9 = \dfrac49.$
Pada daerah di bawah diagonal, terdapat 4 segitiga siku-siku dan 2 di antaranya menempati daerah dengan luas $n$. Jadi, $n = 2 : 4  = \dfrac12$. Dengan demikian,
$$\begin{aligned} m : n & = \dfrac49 : \dfrac12 && (\cdots \times 18) \\ & = 8 : 9 \end{aligned}$$Jadi, perbandingan $\boxed{m : n = 8 : 9}.$
(Jawaban D)

Luas daerah yang diarsir sama dengan jumlah luas kedua persegi dikurangi jumlah kedua segitiga siku-siku yang diberi warna pada gambar berikut.
$$\begin{aligned} L_{\text{Arsir}} & = (12 \times 12 + 8 \times 8)-\dfrac12 \times \left(12 \times 12 + (12 + 8) \times 8\right) \\ & = (144 + 64)-\dfrac12 \times (144 + 160) \\ & = 208-152 \\ & = 56~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{56~\text{cm}^2}.$
(Jawaban C)

Posisikan titik $O$ sehingga terbentuk segitiga siku-suku $AOF$ seperti gambar.
Luas daerah yang diarsir, yaitu luas segitiga $ACF$, sama dengan luas persegi panjang $ABEO$ dikurangi luas segitiga siku-siku $ABC$, $CEF$, dan $AOF.$
$$\begin{aligned} L_{\triangle ACF} & = L_{ABEO}-(L_{\triangle ABC} + L_{\triangle CEF} + L_{\triangle AOF}) \\ & = (6 \times 4)-\dfrac12 \times (3 \times 4 + 3 \times 3 + 1 \times 6) \\ & = 24-\dfrac12 \times (12 + 9 + 6) \\ & = 24-\dfrac12 \times 27 \\ & = 24-13,\!5 =10,\!5 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{10,\!5~\text{cm}^2}.$
(Jawaban C)

Luas daerah yang diarsir dapat dihitung dengan cara mengurangkan luas persegi panjang $PQRS$ dengan jumlahan luas 4 segitiga siku-siku di dalamnya.

1. Pada $\triangle WSV$, diketahui $WS = 16-2=14~\text{cm}$ dan $SV = 3~\text{cm}$ sehingga $L_{\triangle WSV} = \dfrac{14 \cdot 3}{2} = 21~\text{cm}^2.$
2. Pada $\triangle PWT$, diketahui $PT = 24-3=21~\text{cm}$ dan $PW = 2~\text{cm}$ sehingga $L_{\triangle PWT} = \dfrac{21 \cdot 2}{2} = 21~\text{cm}^2.$
3. Pada $\triangle TQU$, diketahui $QU = 16-2=14~\text{cm}$ dan $TQ = 3~\text{cm}$ sehingga $L_{\triangle TQU} = \dfrac{14 \cdot 3}{2} = 21~\text{cm}^2.$
4. Pada $\triangle URV$, diketahui $VR = 24-3=21~\text{cm}$ dan $UR = 2~\text{cm}$ sehingga $L_{\triangle URV} = \dfrac{14 \cdot 3}{2} = 21~\text{cm}^2.$

Dengan demikian, luas daerah yang diarsir adalah
$$\begin{aligned} L_{\text{arsir}} & = L_{PQRS}-(L_{\triangle WSV} + L_{\triangle PWT} + L_{\triangle TQU} + L_{\triangle URV}) \\ & = (24 \times 16)-(21 + 21 + 21 + 21) \\ & = 384-84 = 300~\text{cm}^2. \end{aligned}$$(Jawaban C)

Perhatikan bahwa $CD$ merupakan alas jajar genjang, sekaligus alas segitiga. Karena luas jajar genjang $ABCD$ adalah $54~\text{cm}^2$, maka $CD = \dfrac{54}{6} = 9~\text{cm}$. Diketahui luas segitiga $DCE$ adalah $45~\text{cm}^2$ sehingga
$$\begin{aligned} L_{\triangle DCE} & = \dfrac12 \times CD \times t \\ 45 & = \dfrac12 \times 9 \times t \\ t & = \dfrac{45 \times 2}{9} = 10~\text{cm}. \end{aligned}$$Jadi, tinggi segitiga tersebut jika alasnya $CD$ adalah $\boxed{10~\text{cm}}.$
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa luas segitiga $BCD$ sama dengan setengah kalinya dari luas jajar genjang $ABCD$.
$$\begin{aligned} L_{\triangle BCD} & = \dfrac12 \times L_{ABCD} \\ & = \dfrac12 \times (14 \times 10) \\ & = 70~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Karena diketahui luas segitiga $BFC$ adalah $50~\text{cm}^2$, maka
$$\begin{aligned} L_{\triangle FDC} & = L_{\triangle BCD}-L_{\triangle BFC} \\ & = 70-50 = 20~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas segitiga $FDC$ adalah $\boxed{20~\text{cm}^2}.$
(Jawaban C)

Dari gambar, tampak ada $6$ buah segitiga yang jumlah panjang alasnya sama dengan $12$ cm. Tinggi tiap segitiga adalah $3$ cm. Tanpa perlu mencari luas segitiga masing-masing, kita cukup menggunakan fakta tersebut untuk menentukan jumlah luas segitiga, yaitu
$$\begin{aligned} L & = \dfrac12 \times \text{Jumlah Alas} \times t \\ & = \dfrac12 \times 12 \times 3 = 18~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang berwarna kuning adalah $\boxed{18~\text{cm}^2}.$
(Jawaban C)

Perhatikan $\triangle BEG$ dan $\triangle CFG$ pada gambar. Jumlah panjang alasnya sama dengan panjang dari persegi panjang tersebut, yaitu $BG + GC = BC$, sedangkan tinggi kedua segitiga itu sama, yaitu $AB = CD$. Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle BEG} + L_{\triangle CFG} & = 2.017 + 1.221 \\ \dfrac{BC \times AB}{2} & = 3.238 \\ L_{ABCD} & = 6.476~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Karena luas daerah yang diarsir sama dengan luas persegi panjang $ABCD$ dikurangi luas kedua segitiga tersebut, maka diperoleh $\boxed{L_{\text{Arsir}} = 6.476-3.238 = 3.238~\text{cm}^2}.$
(Jawaban C)

Untuk menghitung luas $\triangle DEF$, kita harus mencari luas $\triangle BEF$, $\triangle CDF$, dan $\triangle ADE$ terlebih dahulu.
Misalkan $G$ dan $H$ berturut-turut adalah titik tengah $CD$ dan $AD$, sedangkan $O$ adalah titik potong ruas garis $EG$ dan $FH$.
Luas $\triangle ADE$ dan $\triangle CDF$ masing-masing sama dengan $\dfrac14$ kali luas jajar genjang, sedangkan luas $\triangle BEF$ sama dengan $\dfrac18$ kali luas jajar genjang. Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle BEF} + L_{\triangle CDF}+L_{\triangle ADE} & = \dfrac18 \times 240 + \dfrac14 \times 240 + \dfrac14 \times 240 \\ & = 30 + 60 + 60 = 150 \end{aligned}$$Luas $\triangle DEF$ sama dengan luas jajar genjang dikurangi luas ketiga segitiga tersebut, yaitu $\boxed{240-150=90}.$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa $\triangle ABC$ di atas dibagi menjadi 4 daerah yang luasnya dimisalkan $L_1,\! L_2,\! L_3$, dan $L_4$ seperti yang tampak pada gambar.
Kita akan mencari selisih luas segitiga $BDF$ dan segitiga $AEF$ , yaitu $L_4-L_2$. 
Pertama, akan dicari luas segitiga $BCE$. Diketahui $AE = 2CE$ sehingga $AC : CE = 3 : 1$. Oleh karena itu, diperoleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle BCE} & = \dfrac13 \times L_{\triangle ABC} \\ L_2 + L_3 & = \dfrac13 \times 144 \\ L_2 + L_3 & = 48~\text{cm}^2 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Berikutnya, akan dicari luas segitiga $ADC$. Diketahui $CD = 3BD$ sehingga $BC : DC = 4 : 3$. Oleh karena itu, diperoleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle ADC} & = \dfrac34 \times L_{\triangle ABC} \\ L_3 + L_4 & = \dfrac34 \times 144 \\ L_3 + L_4 & = 108~\text{cm}^2 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari dua persamaan di atas, kita peroleh
$$\begin{aligned} (L_3 + L_4)-(L_2 + L_3) & = 108-48 \\ L_4-L_2 & = 60~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, selisih luas segitiga $BDF$ dan segitiga $AEF$ adalah $\boxed{60~\text{cm}^2}.$
(Jawaban A)

Diketahui $L_{\triangle APD} = 92~\text{cm}^2$ dan $L_{\triangle BCP} = 27\% \times L_{ABCD}.$
Posisikan titik $O$ di $AD$ dan $Q$ di $BC$ sehingga $AD \perp OP$ dan $BC \perp PQ$ seperti tampak pada gambar.
Perhatikan juga bahwa $AD = BC.$ Dengan demikian, kita akan peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{AD \times OP}{2} + \dfrac{AD \times PQ}{2} & = \dfrac{AD \times OQ}{2} \\ L_{\triangle APD} + 27\% L_{ABCD} & = \dfrac{L_{ABCD}}{2} \\ 92 + 27\%L_{ABCD} & = \dfrac{L_{ABCD}}{2} \\ 184 + 54\%L_{ABCD} & = L_{ABCD} \\ 184 & = 46\%L_{ABCD} \\ L_{ABCD} & = 184 \times \dfrac{100}{46} = 400 \end{aligned}$$Jadi, luas persegi panjang $ABCD$ adalah $\boxed{400~\text{cm}^2}.$
(Jawaban C)

Perhatikan bahwa
$$\begin{aligned} L_{\triangle HEB} & = \dfrac{HE \times HI}{2} \\ L_{HEGF} + L_{\triangle BFG} & = \dfrac{9 \times 15}{2} \\ L_{HEGF} & = 67,\!5-L_{\triangle BFG}. \end{aligned}$$Diketahui luas $ABCD$ sama dengan $200~\text{cm}^2.$
Dengan demikian,
$$\begin{aligned} L_{\triangle ABF} + L_{\triangle BFG} + L_{GBCD} & = 200 \\ L_{\triangle ABF} + L_{GBCD} & = 200-L_{\triangle BFG}. \end{aligned}$$Karena jumlah luas segitiga $ABF$, segi empat $GBCD$, dan segi empat $HEGF$ adalah $207,\!5~\text{cm}^2$, kita peroleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle ABF} + L_{GBCD} + L_{HEGF} & = 207,\!5 \\ (200 – L_{\triangle BFG}) + (67,\!5-L_{\triangle BFG}) & = 207,\!5 \\ 267,\!5-2L_{\triangle BFG} & = 207,\!5 \\ 2L_{\triangle BFG} & = 60 \\ L_{\triangle BFG} & = 30~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Jadi, luas segitiga $BFG$ adalah $\boxed{30~\text{cm}^2}.$
(Jawaban C)

Diketahui $L_{\triangle ABC} = 960~\text{cm}^2.$
Karena $D$ di tengah $AC$, diperoleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle ABD} = L_{\triangle BCD} & = \dfrac12 \times L_{\triangle ABC} \\ & = \dfrac12 \times 960 \\ & = 480~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Karena $E$ di tengah $BC$, diperoleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle CDE} = L_{\triangle BDE} & = \dfrac12 \times L_{\triangle BCD} \\ & = \dfrac12 \times 480 \\ & = 240~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Karena $F$ di tengah $CE$, diperoleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle CDF} = L_{\triangle DEF} & = \dfrac12 \times L_{\triangle CDE} \\ & = \dfrac12 \times 240 \\ & = 120~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $$\boxed{L_{\triangle ABD} + L_{\triangle DEF} = 480 + 120 = 600~\text{cm}^2}.$$(Jawaban B)

Keliling persegi panjang akan bernilai semakin kecil ketika ukuran panjang dan lebarnya sedekat mungkin, bahkan jika memungkinkan, panjang dan lebarnya sama sehingga menjadi sebuah persegi.
Perhatikan bahwa $576 = 2^6 \times 3^2$. Perhatikan tabel berikut. Notasi $|p-\ell|$ menyatakan selisih ukuran panjang dan lebar.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline p & \ell & |p-\ell| \\ \hline 192 & 3 & 189 \\ 64 & 9 & 55 \\ 32 & 18 & 14  \\ 24 & 24 & \color{blue}{0} \\ 16 & 36 & 20 \\ 8 & 72 & 64 \\ 4 & 144 & 140 \\ 2 & 288 & 286 \\ 1 & 576 & 575 \\ \hline \end{array}$$Tampak dari tabel di atas bahwa selisih terkecil tercapai ketika $p = 24$ dan $\ell = 24.$
Dengan demikian, keliling terkecilnya adalah $\boxed{2 \times (24 + 24) = 96}.$
(Jawaban B)

Misalkan panjang sisi perseginya adalah $a$ sehingga panjang sisi lainnya dapat kita tuliskan sebagai berikut.
Untuk mencari luas $\triangle CEF$, kita harus mencari luas persegi $ABCD$, kemudian dikurangi luas 3 buah segitiga siku-siku lainnya.
$$\begin{aligned} L_{\triangle CEF} & = L_{ABCD}-\left(L_{\triangle AEF} + L_{\triangle CDE} + L_{\triangle BCF}\right) \\ & = (AB \times BC)-\dfrac12 \times \left((AF \times AE) + (BF \times BC ) + (DE \times DC)\right) \\ & = (a \times a)-\dfrac12 \times \left(\left(\dfrac23a \times \dfrac13a\right) + \left(\dfrac13a \times a\right) + \left(\dfrac23a \times a\right)\right) \\ & = a^2-\dfrac12 \times \left(\dfrac29a^2 + \dfrac13a^2 + \dfrac23a^2\right) \\ & = a^2-\dfrac12 \times \dfrac{11}{9}a^2 \\ & = a^2-\dfrac{11}{18}a^2 \\ & = \dfrac{7}{18}a^2 \end{aligned}$$Dengan demikian, perbandingan luas $\triangle CEF$ terhadap luas persegi $ABCD$ adalah $\boxed{\dfrac{7}{18}\color{blue}{a^2} : \color{blue}{a^2} = 7 : 18}.$
Catatan: Untuk mempermudah menjelaskan kepada siswa, gunakan permisalan panjang sisi persegi berupa bilangan kelipatan 3,\! misalnya 3,\! 6,\! 9,\! dan seterusnya, karena akan mempermudah perhitungan nantinya.
(Jawaban C)

Diagram terdiri dari 16 petak. Daerah yang diarsir terdiri dari 8 buah segitiga yang sama (kongruen) dengan panjang alas 1 dan tingginya juga 1. Luas segitiga itu adalah $L_{\triangle} = \dfrac12 \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac12$. Karena ada 8 buah segitiga, maka luas arsir sama dengan $L_{\text{arsir}} = 8 \cdot \dfrac12 = 4.$ Jadi, pecahan yang sesuai adalah $\boxed{\dfrac{4}{16} = \dfrac14}.$
(Jawaban B)

Dari gambar, tampak bahwa $\triangle ABE$ dan $\triangle ABC$ memiliki panjang alas yang sama, yaitu $AB$, sedangkan tinggi $\triangle ABE$ sama dengan $2$ kali dari tinggi $\triangle ABC.$ Misalkan luas $\triangle ABC = x$, berarti luas $\triangle ABE = 2x.$ Oleh karena itu, kita peroleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle ABE}-L_{\triangle ABC} & = 2x-x \\ (L_{\triangle ADE} + \cancel{L_{\triangle ABD}})-(\cancel{L_{\triangle ABD}}-L_{\triangle BCD}) & = x \\ L_{\triangle ADE}-L_{\triangle BCD} & = x \end{aligned}$$Dari sini, dapat disimpulkan bahwa selisih luas segitiga $ADE$ dan $BCD$ sama dengan $x$, yaitu luas segitiga $ABC.$
(Jawaban A)

Dua belas persegi tersebut disusun seperti berikut.
Diketahui keliling persegi = $6$ cm. Dari gambar di atas, tampak bahwa keliling persegi panjang sama dengan $16$ kali panjang sisi persegi. Dengan demikian, keliling persegi panjang itu adalah $6 \times (16 \div 4) = 24$ cm.
(Jawaban B)

Perhatikan bahwa $VW$ dapat dipandang sebagai alas jajaran genjang itu, sedangkan $VT$ atau $RS$ merupakan tingginya, yaitu $8$ satuan. Karena diketahui luas jajaran genjang sama dengan $16$ satuan persegi, diperoleh
$$\begin{aligned} L_{VWSY} & = a \times t = VW \times VT\\ 16 & = VW \times 8 \\ VW & = 2. \end{aligned}$$Jadi, panjang $VW$ adalah $\boxed{2}$ satuan.
(Jawaban A)

Misalkan $L_{\triangle} = L_{\text{O}} = L_{\square} = A.$
Karena luas daerah yang diarsir sama dengan luas setengah lingkaran, maka luas yang diarsir adalah $\dfrac12A.$
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \text{Luas Semua Bidang} & = L_{\triangle} + L_{\text{O}} + L_{\square}-L_{\text{arsir}} \\ & = A + A + A-\dfrac12A \\ & = \dfrac52A \end{aligned}$$Luas daerah yang tidak diarsir sama dengan $\dfrac52A-\dfrac12A=2A.$
Jadi, pecahan yang menunjukkan luas keseluruhan daerah yang tidak diarsir adalah $\boxed{\dfrac{L_{\text{tidak arsir}}}{L_{\text{semua bidang}}} = \dfrac{2A}{5/2A} = \dfrac45}.$
(Jawaban D)

Misalkan $CD$ dan $AE$ berpotongan di $O.$ Misalkan juga luas $\triangle AOC = x$ dan luas $\triangle AOD = y.$ $AE$ merupakan garis berat sehingga membagi dua sisi $BC$ sama panjang, seperti yang tampak pada gambar berikut.
Perhatikan $\triangle ADC$ dan $\triangle BDC$ dengan alasnya berturut-turut $AD$ dan $DB.$ Karena kedua segitiga tersebut memiliki tinggi yang sama, maka luasnya sebanding dengan panjang alas.
Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned} \dfrac{AD}{DB} & = \dfrac{L_{\triangle ADC}}{L_{\triangle BDC}} \\ \dfrac75 & = \dfrac{x + y}{9 + 16} \\ \dfrac{35}{\cancel{25}} & = \dfrac{x + y}{\cancel{25}} \\\ x+y & = 35 && (\cdots 1) \end{aligned}$$Karena $E$ terletak tepat di tengah sisi $BC,$ haruslah $BE = EC.$ Dengan prinsip yang sama pada $\triangle ABE$ dan $\triangle ACE,$ diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{BE}{EC} & = \dfrac{L_{\triangle ABE}}{L_{\triangle ACE}} \\ 1 & = \dfrac{16 + y}{9 + x} \\ 9+x & = 16+y \\ x-y & = 7 && (\cdots 2) \end{aligned}$$Dari Persamaan $(1)$ dan $(2)$ di atas, diperoleh nilai $x = 21$ dan $y = 14.$
Jadi, luas daerah yang diarsir (luas segitiga $AOC$) adalah $\boxed{21~\text{cm}^2}.$
(Jawaban B)

Dari gambar tersebut, tampak bahwa panjang persegi panjangnya sama dengan 3 kali dari lebar. Jadi, lebar (sisi yang pendek) = $\dfrac13 \times 1,\!5 = 0,\!5~\text{cm}$, seperti yang tertulis pada gambar berikut.

Dengan demikian, luas persegi panjang $ABCD$ adalah
$$\begin{aligned} L_{ABCD} & = BC \times CD \\ & = 1,\!5 \times (0,\!5 + 1,\!5 + 0,\!5) \\ & = 1,\!5 \times 2,\!5 = 3,\!75~\text{cm}^2. \end{aligned}$$(Jawaban C)

Sketsa gambarnya seperti berikut.
Segi lima tersebut memiliki lima sisi yang sama panjang. Karena kelilingnya $18$ cm, maka itu berarti
$$\begin{aligned} 5 \times s & = 18 \\ s & = 18 \div 5 \\ s & = 3,\!6~\text{cm} \end{aligned}$$Dengan demikian, keliling segitiga sama sisi tersebut adalah
$$\begin{aligned} k_{\triangle} & = 3 \times s \\ & = 3 \times 3,\!6 \\ & = 10,\!8~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, keliling segitiga sama sisi tersebut adalah $\boxed{10,\!8~\text{cm}}.$
(Jawaban D)

Perhatikan gambar berikut.
Pada bagian luar, terdapat $2 \times (5 + 4) = 18$ sisi yang tampak. Pada bagian dalam, terdapat $2 \times (3 + 2) = 10$ sisi yang tampak. Karena setiap sisinya sama panjang, maka perbandingan kelilingnya sama dengan $\boxed{18 : 10 = 9 : 5}.$
(Jawaban C)

Karena $ABCD$ merupakan persegi, maka $AB = AD = 4.$
Misalkan persegi ini kita letakkan pada bidang koordinat sedemikian sehingga:
$$\begin{aligned} A & = (0,\! 0) \\ B & = (0,\! 4) \\ C & = (4,\! 4) \\ D & = (4,\! 0) \\ M & = (0,\! 2) \\ N & = (3,\! 0) \end{aligned}$$Ruas garis $AC$ dapat direpresentasikan oleh persamaan $y = x$ Persamaan garis $MN$ (melalui $(0,\! 2)$ dan $(3,\! 0)$) adalah $2x + 3y = 6.$ Dengan demikian, titik potong kedua garis tersebut (misalnya diberi nama titik $P$) dapat kita tentukan dengan metode substitusi.
$$\begin{aligned} 2x + 3\color{red}{y} & = 6 \\ 2x + 3x & = 6 \\ 5x & = 6 \\ x & = \dfrac65 \end{aligned}$$Akibatnya, $y = \dfrac65.$ Jadi, koordinat titik potong kedua garis itu adalah $P\left(\dfrac65,\! \dfrac65\right).$
Selanjutnya, persamaan garis $BN$ (melalui $(0,\!4)$ dan $(3,\! 0)$) adalah $4x + 3y = 12.$ Dengan demikian, titik potong garis tersebut dengan garis $y=x$ (misalnya diberi nama titik $Q$) dapat kita tentukan dengan metode substitusi.
$$\begin{aligned} 4x + 3\color{red}{y} & = 12 \\ 4x + 3x & = 12 \\ 7x & = 12 \\ x & = \dfrac{12}{7} \end{aligned}$$Akibatnya, $y = \dfrac{12}{7}.$ Jadi, koordinat titik potong kedua garis itu adalah $Q\left(\dfrac{12}{7}, \dfrac{12}{7}\right).$
Luas daerah yang diarsir dapat kita tentukan sebagai berikut.
$$\begin{aligned} L_{\text{arsir}} & = L_{\triangle BCQ} + L_{\triangle AMP} + L_{\triangle PQN} \\ & = L_{\triangle BCQ} + \left(L_{\triangle MAN} + L_{\triangle AQN}-2 \cdot L_{\triangle APN}\right) \\ & = \dfrac{4 \cdot \frac{16}{7}}{2} + \dfrac{3 \cdot 2}{2} + \dfrac{3 \cdot \frac{12}{7}}{2}-2 \cdot \dfrac{3 \cdot \frac65}{2} \\ & = \dfrac{32}{7} + 3 + \dfrac{18}{7}-\dfrac{18}{5} \\ & = \dfrac{250}{35} + \dfrac{105}{35}-\dfrac{126}{35} \\ & = \dfrac{229}{35} \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{\dfrac{229}{35}}.$
(Jawaban D)

Perhatikan kembali gambar yang telah diberi label berikut.
Asumsikan semua satuan dalam cm. Misalkan panjang $CD = x$ sehingga $AC = 45-x.$ Perhatikan bahwa $\triangle ABC$ dan $\triangle CDE$ kongruen karena ketiga sudut yang bersesuaian sama besar dan ada satu sisi yang bersesuaian sama panjangnya, yaitu $\angle ABC = \angle CDE = 90^\circ,$ $\angle ACB = \angle DCE$ (sudut berseberangan sama besar), dan akibatnya $\angle BAC = \angle CED,$ serta panjang $AB = DE.$
Karena kongruen, maka panjang $AC = CE = 45-x.$
$\triangle CDE$ adalah segitiga siku-siku sehingga dengan menggunakan rumus Pythagoras, kita dapat mencari nilai $x.$
$$\begin{aligned} CE^2 & = CD^2+DE^2 \\ (45-x)^2 & = x^2+15^2 \\ 2.025-90x+x^2 & = x^2+225 \\ 90x & = 1.800 \\ x & = 20 \end{aligned}$$Luas keseluruhan bangun adalah jumlah dari luas satu persegi panjang dan 2 kali luas segitiga $ABC$ (karena luas $\triangle ABC = \triangle EFG$).
$$\begin{aligned} L_{\text{total}} & = L_{\text{persegi panjang}} + 2 \cdot L_{\triangle ABC} \\ & = (45 \times 15) + 2 \cdot \left(\dfrac12 \cdot 15 \times 20\right) \\ & = 675 + 300 = 975~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Jadi, luas bangun tersebut adalah $\boxed{975~\text{cm}^2}.$
(Jawaban D)

Posisikan titik $S$ di tengah $BC.$ Tarik garis horizontal $PS$ seperti yang terlihat pada gambar.

Perhatikan bahwa $PS = AR$ dan $AP = RS.$ Lebih lanjut, $\triangle PQR$ dan $\triangle PSR$ memiliki luas yang sama, yaitu $10~\text{cm}^2,$ karena keduanya memiliki panjang alas yang sama $(PR)$ dan tinggi yang sama pula $(PS).$ Kemudian, $\triangle APR,$ $\triangle PBS,$ dan $\triangle RCS$ ketiganya kongruen dengan $\triangle PSR.$ Ini berarti, luas keempat segitiga siku-siku tersebut adalah $10~\text{cm}^2.$ Karena luas gabungan keempat segitiga sama dengan luas $\triangle ABC,$ disimpulkan bahwa $L_{\triangle ABC} = 4\cdot 10 = 40~\text{cm}^2.$
(Jawaban B)

Perhatikan gambar berikut.
Keliling bangun datar adalah jumlah dari semua panjang sisinya. Pindahkan sisi yang diberi warna merah  untuk membentuk persegi panjang utuh.  Dengan demikian, kita peroleh
$$\begin{aligned}  k & = 2 \times (8 + 10) + (3 + 3  + 3 + 3) \\ & = 36 + 12 \\ & = 48 \end{aligned}$$Luas bangun gabungan sama dengan luas persegi panjang besar dikurangi dengan luas dua persegi panjang kecil di dalamnya.
$$\begin{aligned} L & = (8 \times 10)-(3 \times 2 + 3 \times 4)  \\ & = 80-18  = 62 \end{aligned}$$Jadi, keliling bangun gabungan pada gambar adalah $\boxed{48}$ satuan panjang, sedangkan luasnya adalah $\boxed{62}$ satuan luas.

Tarik garis dari titik $F$ ke titik $D$ dan $C$ seperti gambar berikut.
Karena $E$ di tengah $AD$, maka luas daerah 1 dan 2 sama. Karena $H$ di tengah $DC$, maka luas daerah 3 dan 4 sama. Karena $G$ di tengah $BC$, maka luas daerah 5 dan 6 sama. Dengan demikian,
$$\begin{aligned} L_1 + L_2 + L_3 + L_4 + L_5 + L_6 & = 100 \\ 2 \times (L_1 + L_4 + L_5) & = 100 \\  L_1 + L_4 + L_5 & = \dfrac12 \times 100 \\ & = 50 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{50~\text{cm}^2}.$

Perhatikan gambar berikut.
Letakkan titik $P, Q,$ dan $R$ seperti gambar di atas. Perhatikan bahwa luas $\triangle ADF$ sama dengan luas setengah persegi panjang, begitu juga dengan luas $\triangle CDE.$ Untuk menyingkat penulisan, kita misalkan bahwa:
$$\begin{aligned} L_{\triangle ADP} & = L1 \\ L_{\triangle FQR} & = L2 \\ L_{\triangle CDR} & = L3 \\ L_{\triangle EPQ} & = L4 \end{aligned}$$Oleh karena itu, kita peroleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle ADF} + L_{\triangle CDE} & = L_{ABCD} \\ (L1 + L2 + L_{\text{arsir}}) + (L3 + L4 + L_{\text{arsir}}) & = L1 + L2 + L3 + L4 + L_{\text{arsir}} + (15 + 25 + 37) \\ \cancel{(L1 + L2 + L3 + L4)} + 2 \times L_{\text{arsir}} & = \cancel{(L1 + L2 + L3 + L4)} + L_{\text{arsir}} + 77 \\ 2 \times L_{\text{arsir}} & = L_{\text{arsir}} + 77 \\ L_{\text{arsir}} & = 77. \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang diarsir tersebut adalah $\boxed{77~\text{cm}^2}.$

Persegi panjang tersebut akan memiliki keliling minimum jika ukuran panjang dan lebarnya sedekat mungkin, bahkan jika memungkinkan, panjang dan lebarnya sama sehingga menjadi sebuah persegi.
Perhatikan bahwa $1.221 = 3 \times 11 \times 37.$
Dari tiga bilangan tersebut, perkalian dua bilangan yang hasilnya mendekati bilangan sisanya adalah $3 \times 11 = 33$ dengan $37$ (berselisih $4$). Jadi, ukuran persegi panjang itu adalah $33 \times 37$ (atau kebalikannya) sehingga keliling minimumnya adalah $\boxed{2 \times (33 + 37) = 140~\text{cm}}$

Tarik garis tinggi pada segitiga sama kaki tersebut seperti yang tampak pada gambar.
Misalkan $t$ adalah tinggi segitiga, sekaligus tinggi trapesium.
Karena kedua bangun memiliki luas yang sama, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} L_{\text{segitiga}} & = L_{\text{trapesium}} \\ {\color{blue}{\dfrac12}} \cdot b \cdot \color{red}{t} & = {\color{blue}{\dfrac12}} \cdot \left(a + \dfrac12b + a\right) \cdot \color{red}{t} \\ b & = 2a + \dfrac12b \\ \dfrac12b & = 2a \\ \dfrac14b & = a \\ \dfrac{b}{a} & = \dfrac41 \end{aligned}$$Jadi, perbandingan nilai $b$ dan $a$ adalah $\boxed{4 : 1}.$

Namai setiap titik sudut yang ada pada gambar tersebut, kemudian tarik garis dari titik sudut segi empat ke titik $P.$
Perhatikan bahwa $B$ terletak di tengah $AC$ sehingga $L_{\triangle ABP} = L_{\triangle BCP} = x.$ Dengan prinsip yang serupa, kita peroleh
$$\begin{aligned} L_{\triangle CDP} & = L_{\triangle DEP} = y \\ L_{\triangle EFP} & = L_{\triangle FGP} = z \\ L_{\triangle GHP} & = L_{\triangle AHP} = w \end{aligned}$$Berdasarkan luas daerah yang sudah diketahui pada gambar, kita juga peroleh 
$$\begin{cases} x + y & = 75 && (\cdots 1) \\ y + z & = 72 && (\cdots 2) \\ w + z & = 85 && (\cdots 3) \end{cases}$$Kita akan mencari nilai $x + w,$ yaitu dengan menjumlahkan persamaan $(1)$ dan $(3),$ kemudian dikurangi persamaan $(2).$
$$\begin{aligned} (x + y) + (w + z)-(y+z) & = 75 + 85-72 \\ x + w & = 88 \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang belum diketahui itu adalah $\boxed{88}.$